AOJ 2698 Wall Making Game
問題文
H * W のマス目を持つ盤面が与えられる. 盤面の各マスは初期状態で empty か marked である.
この盤面を使って以下のような2人ゲームを行う. (原文中の挿絵が分かりやすいので参照してください)
1. プレイヤーは empty であるマスを選択し, そのマスを wall にする. この時, 選択できるようマスが無い場合, そのプレイヤーの負けである.
2. wall にしたマスから四方向に wall を延伸する. この操作は wall か盤外に到達するまで行う.
2人が最適に行動したとき, どちらが勝者になるか. 1 <= H, W <= 20
解法
Grundy 数を使って解く. 同様の分裂するタイプの Grundy 数を使った問題は蟻本にも載っている(第2版 P.283).
dp[sx][sy][gx][gy] := 左上頂点座標が (sx, sy), 右下頂点座標が (gx, gy) である長方形に対する Grundy 数. としてメモ化再帰する.
O((HW)^2).
ソースコード
int H, W; vector<string> s(20); int dp[20][20][20][20]; int grundy(int sx, int sy, int gx, int gy) { if (gx < sx || gy < sy) return 0; if (dp[sx][sy][gx][gy] >= 0) return dp[sx][sy][gx][gy]; set<int> st; for (int i = sx; i <= gx; i++) { for (int j = sy; j <= gy; j++) { if (s[i][j] == '.') { st.insert(grundy(sx, sy, i - 1, j - 1) ^ grundy(i + 1, sy, gx, j - 1) ^ grundy(sx, j + 1, i - 1, gy) ^ grundy(i + 1, j + 1, gx, gy)); } } } int res = 0; while (st.find(res) != st.end()) res++; return dp[sx][sy][gx][gy] = res; } int main() { cin.tie(0); ios::sync_with_stdio(false); cin >> H >> W; memset(dp, -1, sizeof(dp)); for (int i = 0; i < H; i++) cin >> s[i]; cout << (grundy(0, 0, H - 1, W - 1) ? "First" : "Second") << endl; }